如下，，计算函数 f(t) = t² 在区间 √(a²b²) 上的平均值
函数f(t)=t²在区间[√(a²b²)]上的平均值为：计算区间端点的函数值，f(√(a²b²))= (√(a²b²))² = a²b²，应用平均值公式，得到平均值为 [f(√(a²b²)) + f(-√(a²b²))] / 2 = (a²b² + a²b²)/2 = a²b²，该区间上的平均值为a²b²。
-
确定区间长度：
区间是从到 (\sqrt{a^2 + b^2})，因此区间长度为 (\sqrt{a^2 + b^2})。 -
计算积分：
计算函数 ( f(t) = t^2 ) 在区间 [, \sqrt{a^2 + b^2}] 上的定积分： \[ \int_^{\sqrt{a^2 + b^2}} t^2 \, dt \] 结果为： \[ \left[ \frac{t^3}{3} \right]_^{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2})^3}{3} - 0 = \frac{(a^2 + b^2)^{3/2}}{3} \] -
计算平均值：
平均值公式为积分值除以区间长度： \[ \text{平均值} = \frac{\int_^{\sqrt{a^2 + b^2}} t^2 \, dt}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a^2 + b^2)^{3/2}}{3 \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2 + b^2}{3} \]
函数 ( f(t) = t^2 ) 在区间 [, \sqrt{a^2 + b^2}] 上的平均值为：
\[
\boxed{\dfrac{a^2 + b^2}{3}}
\]
<日记>
确定区间长度：
区间是从到 (\sqrt{a^2 + b^2})，因此区间长度为 (\sqrt{a^2 + b^2})。
计算积分：
计算函数 ( f(t) = t^2 ) 在区间 [, \sqrt{a^2 + b^2}] 上的定积分：
\[
\int_^{\sqrt{a^2 + b^2}} t^2 \, dt
\]
结果为：
\[
\left[ \frac{t^3}{3} \right]_^{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2})^3}{3} - 0 = \frac{(a^2 + b^2)^{3/2}}{3}
\]
计算平均值：
平均值公式为积分值除以区间长度：
\[
\text{平均值} = \frac{\int_^{\sqrt{a^2 + b^2}} t^2 \, dt}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a^2 + b^2)^{3/2}}{3 \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2 + b^2}{3}
\]
