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第一步，计算f(x)的导数，f(x)是一个多项式函数，其导数为$f'(x) = 3x^2 + 4x + 3$。

我需要分析这个导数的符号,考虑导数的判别式：

判别式D = b² - 4ac = (4)^2 - 433 = 16 - 36 = -2

因为判别式D < 0，说明二次函数的判别式小于零，所以f'(x) = 3x² +4x +3永远为正数，因为在实数范围内，二次函数开口向上（因为x²项的系数为3>），所以f'(x)在整个实数域R上都是正数，意味着f(x)在整个定义域上是严格单调递增的函数。

函数f(x)在R上是严格单调递增的。

答案 函数$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x +5$在实数域R上是严格单调递增的,因此它在整个实数域R上是严格单调递增的。

答案：函数$f(x)$在实数域R上是严格单调递增函数，即$f(x)$在整个定义域上单调递增。

函数$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 5$的导数为$f'(x) = 3x^2 + 4x + 3$，其判别式为负数，说明导数在实数域上永远为正数，因此函数$f(x)$在整个实数域R上是严格单调递增的，即函数$f(x)$在整个定义域R上是严格单调递增函数。